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SISTEMAS DE ECUACIONES
           

1. Sistemas de ecuaciones lineales.
1.1 Definición.
1.2 Clasificación. 
1.3 Resolución de sistemas de ecuaciones.
a) Método de sustitución.
b) Método de igualación.
c) Método de reducción.
1.4 Resolución de problemas.
2. Sistemas de ecuaciones no lineales.

3. Relación de ejercicios.



linea

   1. Sistemas de ecuaciones lineales.  Volver al principio de pagina

      1.1 Definición.  Volver al principio de pagina

                        Un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas, x e y, se expresa como:

sistema lineal

                 donde a, b, a' y b' son números reales llamados coeficientes de las incógnitas, y donde c y c' son también números reales llamados términos independientes.

                    Llamamos solución del sistema anterior, a un par de valores, uno para x y otro para y que verifican o satisfacen las dos ecuaciones del sistema.

                    Dos sistemas de ecuaciones se dice que son equivalentes si ambos tienen la misma solución.

       1.2 Clasificación. Volver al principio de pagina

                        Los sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas, los vamos a clasificar, dependiendo del número de soluciones en:

                            a) INCOMPATIBLES: Si no tienen solución.

                            b) COMPATIBLES: Si tienen solución, en cuyo caso se clasifican en:

                                        - Determinado: si su solución es única.

                                        - Indeterminado: si tiene infinitas soluciones.

                   

                   La interpretación de ésto resulta bastante evidente  pues la representación de cada ecuación lineal se corresponde con una recta, de manera que:

                        - Cuando el sistema sea incompatible (no tenga solución) , entonces las dos rectas serán paralelas (no tienen ningún punto en común).

                       - Cuando el sistema sea compatible determinado (tenga una única solución), entonces las rectas serán secantes (se cortan en un sólo punto).

                      - Cuando el sistema sea compatible indeterminado (tenga infinitas soluciones), entonces las rectas serán coincidentes (se cortan en infinitos puntos).


             1.3 Resolución de sistemas de ecuaciones.   Volver al principio de pagina

                        Resolver un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas es hallar la/s solución/es de dicho sistema (en caso de tener alguna). Veamos los métodos de los                 que disponemos para resolverlos:

           a) Método de sustitución:  Volver al principio de pagina

                        Este método consiste en la realización de los siguientes pasos:

                                   1º)  Despejamos una de las incógnitas de una de las ecuaciones.

                                   2º)  Sustituimos la expresión obtenida al despejar la incógnita, en la otra ecuación.

                                   3º)   Resolvemos la ecuación de primer grado con una sola incógnita que obtenemos tras el paso 2.

                                   4º)   Calculamos la otra incógnita en la ecuación despejada.

           Resulta conveniente despejar aquella incógnita cuyo coeficiente sea 1 ó -1, pues de esta forma evitaremos trabajar con fracciones.


                       Ver ejemplo


                    b) Método de igualación.   Volver al principio de pagina

                        Este método consiste en la realización de los siguientes pasos:   

                        1º)  Despejamos la misma incógnita en las dos ecuaciones.

                        2º) Igualamos las expresiones de la incógnita despejada, obteniendo una ecuación de primer grado con una única incógnita.

                        3º) Resolvemos la ecuación obtenida.

                        4º) Hallamos el valor de la incógnita que habíamos despejado, al conocer el valor de la otra incógnita.


                   
     Resulta conveniente despejar aquellas incógnitas cuyos coeficientes sean 1 ó -1, o al menos una de ellas tenga por coeficiente la unidad

                 Ver ejemplo

    

                    c) Método de reducción.  Volver al principio de pagina

  Este método consiste en la realización de los siguientes pasos:
   
     1º)  Preparamos las dos ecuaciones, (para lo cual podemos multiplicar por los números que convenga), de modo que las incógnitas que pretendemos eliminar tengan coeficientes opuestos.
    2º)   Al sumar dichas ecuaciones se "eliminará" dicha incógnita, obteniendo una ecuación con una sólo incógnita.
    3º)   Resolvemos dicha ecuación.
   4º)   Una vez obtenido el valor de dicha incógnita, bastará con sustituirlo en cualquiera de las dos ecuaciones inciales y despejar la otra incógnita.

      En algunas ocasiones resulta muy fácil averiguar el número por el que tenemos que multiplicar para que los coeficientes de las incógnitas que pretendemos eliminar sean opuestos. Sin embargo, en situaciones que no sean tan evidentes, conviene hallar el mínimo común múltiplo (mcm), de los coeficientes de dichas incógnitas, lo que nos facilitará bastante la resolución del sistema.

               
     En determinadas ocasiones (especialmente cuando el valor de la incógnita es una fracción), nos interesará volver a aplicar el mismo razonamiento para eliminar la otra incógnita. En este caso, el método de resolución se llama reducción doble.

            Ver ejemplo

       

1.4 Resolución de problemas.  Volver al principio de paginaresolve_problema

      En la resolución de problemas mediante sistemas, resulta imprescindible entender el lenguaje algebraico, y traducir el enunciado del     problema del lenguaje usual o cotidiano al lenguaje algebraico. Resulta de igual modo importante, dejar bien claro qué va a representar cada una de las dos incógnitas del sistema.

  2. Sistemas de ecuaciones no lineales.  Volver al principio de pagina

     Un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, se dice que es no lineal cuando no es lineal, esto es, cuando el grado de alguno de sus términos es distinto de uno.
      
Ejemplos de sistemas no lineales son los siguientes:  
               

sistema_no_lineal     Este sistema es no lineal, pues a pesar de que la primera ecuación es lineal, la segunda ecuación es no lineal pues x está elevada al cuadrado (grado 2), al igual que ocurre con la incógnita y.



sistema_no_lineasEste sistema es no lineal, pues aunque la primera ecuación es lineal, la segunda no lo es, ya que el término x.y tiene grado 2

    Los métodos indicados para resolver sistemas de ecuaciones lineales, nos van a permitir resolver sistemas de ecuaciones de distintos tipos sin excesivo esfuerzo adicional.

     Al resolver un sistema no lineal, es posible que en ocasiones sea necesario suprimir una raíz cuadrada (elevando al cuadrado) o eliminar unos denominadores,... de modo que aparezcan falsas soluciones. Debido a ésto, es necesario comprobar todas las soluciones obtenidas sobre el sistema inicial.

Ver ejemplo

3. Relación de ejercicios.  Volver al principio de pagina

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