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LAS APARIENCIAS ENGAÑAN

Evidentemente, cualquier tiempo pasado no fue mejor. Pero también, no siempre progresamos con el tiempo.
Y tal vez, una de las mejores maneras de aprender es relativizar y a mirar con detalle lo que tenemos delante. No son pocos los insignes personajes que respaldan esta opinión. Por ejemplo, Descartes, en su obra Discurso del Método, manifiesta:

Era el primero [precepto], no aceptar nunca cosa alguna como verdadera que no la conociese evidentemente como tal, es decir, evitar cuidadosamente la precipitación y la prevención y no admitir en mis juicios nada más que lo que se presentase a mi espíritu tan clara y distintamente, que no tuviese ocasión alguna de ponerlo en duda.

Y unos siglos más tarde, Ortega y Gasset:

"Siempre que enseñes, enseña a la vez a dudar de lo que enseñas".

En mi niñez, en los primeros años de escuela, tuve un preceptor (no me atrevo a llamarlo maestro) que utilizaba como procedimiento principal para enseñar la multiplicación, la práctica reiterativa de ejercicios. Lo que antiguamente se llamaban cuentas. Y se sucedían multiplicaciones y multiplicaciones con multiplicando de diez o doce cifras y multiplicador de tres, cuatro o cinco. Claro, ¿cómo corregir luego las actividades de los más de cuarenta alumnos que nos hacinábamos en aquella habitación a la que llamábamos clase? Pues con la prueba del nueve.
La prueba del nueve consiste en utilizar una propiedad modular de los números enteros. Mejor lo vemos con un ejemplo. Supongamos que la cuenta era multiplicar 4597862483 por 679. La disposición de los números era así:

Reducimos el multiplicando a su representante canónico módulo nueve. ¿Cómo se hace eso? Sumamos sucesivamente los dígitos del número, hasta quedarnos sólo con uno:

4 + 5 + 9 + 7 + 8 + 6 + 2 + 4 + 8 + 3 = 56; 5 + 6 = 11; 1 + 1 = 2

Así, decimos que 4597862483 = 2 (mod 9)
Análogamente podemos hacer con el multiplicador:

6 + 7 + 9 = 22; 2 + 2 = 4

O sea 679 = 4 (mod 9)
Y por último, con el resultado de la multiplicación:

3 + 1 + 2 + 1 + 9 + 4 + 8 + 6 + 2 + 5 + 9 + 5 + 7 = 62; 6 + 2 = 8

Con lo cual, 3121948625957 = 8 (mod 9)
Ahora sólo hay que multiplicar 2 × 4 = 8.
Como vemos, el producto de los equivalentes modulares coincide con el equivalente modular de la multiplicación. Si la multiplicación está bien hecha, esto tiene que ser así. Y en esa idea se basa, falsamente, la corrección del ejercicio.
¿Por qué digo falsamente? Porque este último resultado también se da si, por ejemplo, cambio de orden algunos dígitos del resultado, por ejemplo:
3+1+2+1+4+9+8+6+5+2+9+5+7 = 62; 6 + 2 = 8
O incluso si sustituyo algunos de estos dígitos de manera que se mantenga la suma:

3+1+2+7+3+4+6+6+4+5+9+5+7 = 62; 6 + 2 = 8

Y sin embargo, en este caso, el resultado sería incorrecto.
Cuando yo dominaba ya el algoritmo de la multiplicación y la división, me vine a enterar que algunos de mis compañeros, más perspicaces (o más pillastres), enterados del procedimiento, se limitaban a hacer cuadrar estos resultados modulares poniendo los dígitos aleatoriamente. Al parecer coló en más de una ocasión.
La misma técnica sirve para la división: div1

La propiedad de la división:

dividendo = divisor × cociente + resto

se verifica también para los equivalentes modulares:

6+7+7+1+5+2+0 = 28; 2 + 8 = 10; 1 + 0 = 1 0+4+0+3 = 7

Veamos: divisor × cociente + resto = 4 × 1 + 7 = 11; 1 + 1 = 2 que, efectivamente, es equivalente, módulo 9, al dividendo.
Pero si yo escribo la caótica división:

aplicando sólo el criterio modular, la barbaridad podría pasar inadvertida.


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LAS APARIENCIAS ENGAÑAN Evidentemente, cualquier tiempo pasado no fue mejor. Pero también, no siempre progresamos con el tiempo. Y tal vez, una de las mejores maneras de aprender es relativizar y a mirar con detalle lo que tenemos delante. No son pocos los insignes personajes que respaldan esta opinión. Por ejemplo, Descartes, en su obra Discurso del Método, manifiesta: Era el primero [precepto], no aceptar nunca cosa alguna como verdadera que no la conociese evidentemente como tal, es decir, evitar cuidadosamente la precipitación y la prevención y no admitir en mis juicios nada más que lo que se presentase a mi espíritu tan clara y distintamente, que no tuviese ocasión alguna de ponerlo en duda. Y unos siglos más tarde, Ortega y Gasset: "Siempre que enseñes, enseña a la vez a dudar de lo que enseñas". En mi niñez, en los primeros años de escuela, tuve un preceptor (no me atrevo a llamarlo maestro) que utilizaba como procedimiento principal para enseñar la multiplicación, la práctica reiterativa de ejercicios. Lo que antiguamente se llamaban cuentas. Y se sucedían multiplicaciones y multiplicaciones con multiplicando de diez o doce cifras y multiplicador de tres, cuatro o cinco. Claro, ¿cómo corregir luego las actividades de los más de cuarenta alumnos que nos hacinábamos en aquella habitación a la que llamábamos clase? Pues con la prueba del nueve. La prueba del nueve consiste en utilizar una propiedad modular de los números enteros. Mejor lo vemos con un ejemplo. Supongamos que la cuenta era multiplicar 4597862483 por 679. La disposición de los números era así: Reducimos el multiplicando a su representante canónico módulo nueve. ¿Cómo se hace eso? Sumamos sucesivamente los dígitos del número, hasta quedarnos sólo con uno: 4 + 5 + 9 + 7 + 8 + 6 + 2 + 4 + 8 + 3 = 56; 5 + 6 = 11; 1 + 1 = 2 Así, decimos que 4597862483 = 2 (mod 9) Análogamente podemos hacer con el multiplicador: 6 + 7 + 9 = 22; 2 + 2 = 4 O sea 679 = 4 (mod 9) Y por último, con el resultado de la multiplicación: 3 + 1 + 2 + 1 + 9 + 4 + 8 + 6 + 2 + 5 + 9 + 5 + 7 = 62; 6 + 2 = 8 Con lo cual, 3121948625957 = 8 (mod 9) Ahora sólo hay que multiplicar 2 × 4 = 8. Como vemos, el producto de los equivalentes modulares coincide con el equivalente modular de la multiplicación. Si la multiplicación está bien hecha, esto tiene que ser así. Y en esa idea se basa, falsamente, la corrección del ejercicio. ¿Por qué digo falsamente? Porque este último resultado también se da si, por ejemplo, cambio de orden algunos dígitos del resultado, por ejemplo: 3+1+2+1+4+9+8+6+5+2+9+5+7 = 62; 6 + 2 = 8 O incluso si sustituyo algunos de estos dígitos de manera que se mantenga la suma: 3+1+2+7+3+4+6+6+4+5+9+5+7 = 62; 6 + 2 = 8 Y sin embargo, en este caso, el resultado sería incorrecto. Cuando yo dominaba ya el algoritmo de la multiplicación y la división, me vine a enterar que algunos de mis compañeros, más perspicaces (o más pillastres), enterados del procedimiento, se limitaban a hacer cuadrar estos resultados modulares poniendo los dígitos aleatoriamente. Al parecer coló en más de una ocasión. La misma técnica sirve para la división: La propiedad de la división: dividendo = divisor × cociente + resto se verifica también para los equivalentes modulares: 6+7+7+1+5+2+0 = 28; 2 + 8 = 10; 1 + 0 = 1 0+4+0+3 = 7 Veamos: divisor × cociente + resto = 4 × 1 + 7 = 11; 1 + 1 = 2 que, efectivamente, es equivalente, módulo 9, al dividendo. Pero si yo escribo la caótica división: aplicando sólo el criterio modular, la barbaridad podría pasar inadvertida.	FRACTALES Una dimensión intermedia $fractal$ Las nubes no son esferas, las montañas no son conos, las costas no son circulares y las cortezas de los árboles no son lisas, así como los relámpagos no viajan en línea recta. Benoît Mandelbrot (1924 - 2010) Más sobre fractales aquí. TÚ MISMO... Con constancia y tenacidad se obtiene lo que se desea; la palabra imposible no tiene significado. Napoleón Bonaparte PAPIROFLEXIA MODULAR Módulos PHizz MÁS PAPIROFLEXIA ENLACES Información Selectividad (US) Información Selectividad (UJ) Divulgación Matemáticas Historia de las matemáticas Variedad matemática El Paraíso de las Matemáticas Pica aquí y entra en el maravilloso mundo de los LUGARES GEOMÉTRICOS
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