En este tema vamos a estudiar resultados que pueden aplicarse a un triángulo cualquiera, sea o no sea rectángulo.

Teorema de Pitágoras Generalizado

El Teorema de Pitágoras, válido sólo para los triángulos rectángulos, nos da el valor del cuadrado del lado opuesto al ángulo recto (hipotenusa) en función de los otros dos lados (catetos).

Para triángulos no rectángulos, se puede hallar también el valor del cuadrado de un lado, por aplicación de un resultado que se conoce con el nombre de Teorema Generalizado de Pitágoras.

El teorema generalizado de Pitágoras, se puede aplicar a cualquier triángulo, sea o no rectángulo. Dicho teorema (generalizado), para el caso particular de un triángulo rectángulo, coincide con el teorema de Pitágoras para triángulos rectángulos, por ser una generalización del mismo.

Hay dos casos, según que el lado se oponga a un ángulo agudo o a un ángulo obtuso.

Cuadrado del lado opuesto a un ángulo agudo:

Sea un triángulo acutángulo cualquiera. Para hallar el cuadrado de uno de sus lados, por ejemplo el lado "a" -opuesto al vértice A-, trazaremos la altura sobre cualquiera de los otros dos lados. 

En la siguiente figura, se ha trazado la altura sobre el lado "c" y se denota por "m" la proyección de "b" sobre "c".

Pitagoras generalizado (acutángulos)

Como se observa en la figura anterior, dicha altura divide el triángulo ABC en dos triángulos rectángulos: ADC y CDB. 

Por ser CDB triángulo rectángulo, podemos aplicarle el teorema de Pitágoras:

a2 = h2 + (c - m)2 = h2 + c2 + m2 - 2 cxm

Como ADC también es un triángulo rectángulo, por el teorema de Pitágoras:

h2 = b2 - m2

Sustituyendo, el segundo resultado obtenido, en la primera expresión resulta:

a2 = (b2 - m2) + c2 + m2 - 2 cxm =  b2  + c2 - 2 cxm

a2 =  b2  + c2 - 2 cxm

Expresión que se conoce como teorema generalizado de Pitágoras, y que dice lo siguiente:

"El cuadrado del lado opuesto a un ángulo agudo es igual a la suma de los cuadrados de loso otros dos lados menos el doble producto de uno de ellos por la proyección del otro sobre él"

Cuadrado del lado opuesto a un ángulo obtuso:

Sea un triángulo obtusángulo cualquiera. Para hallar el cuadrado de lado opuesto al ángulo obtuso, trazaremos la altura sobre cualquiera de los otros dos lados. En la siguiente figura, se ha trazado la altura sobre el lado "c" y se denota por "m" la proyección de "b" sobre "c".

pirtagoras generalizado triangulo obtusángulo

Como se ve en la figura anterior, al trazar la altura, aparecen dos triángulos rectángulos, CDA y CDB, a los que podremos aplicar el teorema de Pitágoras.

Por ser CDB triángulo rectángulo, y por el teorema de Pitágoras:

a2 = h2 + (c + m)2 = h2 + c2 + m2 + 2 cxm

Como CDA también es un triángulo rectángulo, y otra vez, por el teorema de Pitágoras:

b2 = h2 + m2   ⇒     h2 = b2 - m2

Sustituyendo, el segundo resultado obtenido, en la primera expresión resulta:

a2 = (b2 - m2) + c2 + m2 + 2 cxm =  b2  + c2 + 2 cxm

a2 =  b2  + c2 + 2 cxm

Expresión que se conoce como teorema generalizado de Pitágoras, y que dice lo siguiente:

"El cuadrado del lado opuesto a un ángulo obtuso es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados más el doble producto de uno de ellos por la proyección del otro sobre él"

Particularización al caso de triángulos rectángulos:

Si observas los dibujos anteriores, hemos denotado por "m" la proyección del lado "b" sobre el "c". Ahora bien, esa proyección es tanto más pequeña cuanto más próximo a un ángulo recto sea el ángulo opuesto al lado "a".

En el caso extremo, de que dicho ángulo fuera recto (triángulo rectángulo), la proyección "m" sería nula (m = 0). 

Si sustituyes ese caso extremo ( m = 0), en cualquiera de las expresiones anteriores, se obtiene el mismo resultado:

a2 =  b2  + c2

que no es otra cosa que el Teorema de Pitágoras para triángulos rectángulos.

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Teorema de la Altura Generalizado

El teorema de la altura generalizado, permite calcular la altura sobre cualquier lado de un triángulo no rectángulo. 

Se va a utilizar lo siguiente:

El triángulo ABC, no es rectángulo, pero al trazar la altura sobre el lado "c", que denotaremos por "hc",  se divide en dos triángulos rectángulos. Nos fijamos en el triángulo CDA -véase figuras anteriores-, que como hemos dicho es un triángulo rectángulo, y le aplicamos el teorema de Pitágoras:

b2 = m2 + hc2     ⇒     hc2= b2 - m2

En la expresión anterior, sustituimos el valor de la proyección "m", y operamos:

demostración del teorema de la altura generalizado

Por tanto, extrayendo la raíz cuadrada se obtiene el valor de la altura sobre el lado "c".

Por análogo razonamiento, se obtendrían las expresiones de las otras dos alturas, sobre los lados "a" y "b", respectivamente:

expresión de las 3 alturas de un triángulo NO rectángulo

El resultado anterior, que se conoce como "Teorema de la Altura Generalizado", permite calcular las tres alturas de un triángulo no rectángulo, en función de sus tres lados.

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Fórmula de Herón

Si se pudiera calcular el área de un triángulo conocidos los tres lados, se podría calcular el área de cualquier polígono, regular o no, ya que basta con descomponerlo en triángulos.

La fórmula que permite calcular el área de un triángulo conocidos sus tres lados, se llama fórmula de Herón, ya que la primera noticia sobre ella se debe a este matemático griego.

Esta fórmula es la más útil para calcular áreas de triángulos, ya que la medida de los lados es una operación fácil.

Por un lado, sabemos que el área de un triángulo cualquiera ABC, es "base por altura dividido entre dos"

Area=(base x altura) /2

Por otro lado, según se vio en el apartado anterior, se puede expresar cualquiera de las tres alturas de un triángulo en función de sus tres lados. Luego tomando como base el lado "c", la altura correspondiente será:

altura sobre el lado c

y el área:

demostracion fórmula de herón

area de un triángulo en función de sus lados

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