En este tema vamos a estudiar los teoremas o resultados aplicables a TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS: el teorema de Pitágoras, que ya deberíais conocer, y otros teoremas que se demuestran a partir de él y que reciben el nombre de teorema del Cateto y teorema de la Altura.

Hay que tener mucho cuidado cuando se utilicen estos teoremas, y asegurarse de que el triángulo a quien se lo estamos aplicando sea rectángulo, bien porque nos lo diga el enunciado del problema, o bien porque nos tomemos la molestia de comprobarlo matemáticamente. En ningún caso, se puede decir que un triángulo es rectángulo porque "me lo parece en el dibujo..." (un ángulo de 88º  "se parece" mucho gráficamente a un recto y, desde luego, no es recto).

Teorema de Pitágoras

Este teorema, enunciado por el matemático griego Pitágoras en el siglo V a.C., es uno de los resultados más conocidos e importantes de la geometría y posee gran cantidad de aplicaciones tanto en distintas partes de las matemáticas como en situaciones de la vida diaria.

El teorema se aplica a los triángulos rectángulos, y dice los siguiente:

"En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos"

Si llamamos "a" a la hipotenusa de un triángulo rectángulo y "b", "c" a los catetos   ⇒   a2=b2+c2

A los grupos de tres números "a", "b" y "c" que verifican a2=b2+c2 se les llama "ternas pitagóricas"

Gráficamente, el teorema de Pitágoras se expresa de la forma siguiente:

Teorema de pitágoras

"En un triángulo rectángulo, el área del cuadrado construido sobre la hipotenusa, es la suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos"

El teorema de Pitágoras es sencillo de probar, y tiene muchas demostraciones de diversos tipos, pero la más sencilla puede ser la siguiente:

Mira las dos figuras siguientes:

(b+c)^2=b^2+c^2+2bc(b+c)^2=a^2+2bc

Ambas son dos cuadrados de lado (b+c), y en las dos puedes ver que aparecen cuatro triángulos rectángulos de lados "a", "b" y "c", en color rosa todos ellos.

Eso quiere decir, que las partes restantes en cada uno de los cuadrados de lado (b+c) deben tener el mismo área.

b^2 + a^2=a^2

En el primero, la parte restante son los cuadrados amarillo y azul, de áreas b2 y c2; en el segundo el cuadrado verde, de área a2. Esas áreas deben ser iguales, es decir:

a2 = b2 +c 2

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Teorema de la Altura

Sea un triángulo rectángulo, cuyos catetos denotaremos por "b" y "c", siendo "a" la hipotenusa (lado opuesto al ángulo recto) y "h" la altura del triángulo sobre la hipotenusa:

altura sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo ABC

De las tres alturas que tiene un triángulo rectángulo, dos de ellas son los catetos; y la tercera,  la altura sobre la hipotenusa, está relacionada con los lados del triángulo por la siguiente relación:

"El producto de los dos catetos, de un triángulo rectángulo, coincide con el producto de la hipotenusa por la altura sobre ella"

En efecto:

La expresión del área de un triángulo ("área igual a base por altura dividido entre dos") vamos a aplicarla dos veces al triángulo rectángulo ABC.

Area=(basex altura)/ 2

Area=(basexaltura)/2

Luego, igualando ambas expresiones, se obtiene:hipotenusaxaltura sobre hipotenusa=catetoxcateto

El teorema de la altura nos da otra relación:  la relación entre la altura sobre la hipotenusa y las proyecciones de los catetos sobre la misma:

Denotaremos por "h" la altura del triángulo sobre la hipotenusa y por  "m", "n" a las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa.

Elementos de un triángulo rectángulo

A parte del triángulo ABC, que por definición es rectángulo, al trazar la altura sobre la hipotenusa, aparecen dos nuevos triángulos rectángulos (por ser la altura perpendicular a la base), a saber, ADC y ADB.

aplicación de pitágoras al triangulo ADCAplicación de pitágoras al triángulo ABD

Aplicamos Pitágoras al ADC   ⇒   b2 = h2 + m2

Aplicamos Pitágoras al ADC   ⇒   c2 = h2+ n2

Además, dado que ABC era un triángulo rectángulo, aplicando de nuevo Pitágoras   ⇒   a2 = b2 + c2

Sustituyendo en la última expresión b2 y c2 por las expresiones obtenidas anteriormente, resulta:

a2 = b2 + c2 = (h2 + m2) + (h2 + n2) = 2h2 + m2 +n2

Por otra parte, a = m + n, de donde:

a2 = (m + n)2 = m2 + n2 + 2nxm

Igualando ambas expresiones equivalentes a a2:

2h2 + m2 + n2 = m2 + n2 + 2nxm   ⇒   2h2 = 2 mxn   ⇒   h2 = mxn

El resultado anterior se conoce con el nombre de Teorema de la Altura, y se enuncia de la siguiente manera

"En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la altura sobre la hipotenusa es igual al producto de las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa"

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Teorema del Cateto

Considerando de nuevo el triángulo ADC:

aplicación de pitágoras al triangulo ADC

y aplicando Pitágoras:   b2 = h2 + m2

Por el teorema de la altura, que acabamos de demostrar, se cumple:   h2 = mxn

Y sustituyendo la segunda expresión en la primera, se obtiene:

b2 = mx n + m2   ⇒   b2 = m x(n + m) = m x a   ⇒   b2 = m xa

Considerando ahora el triángulo ADB:

Aplicación de pitágoras al triángulo ABD

y aplicando Pitágoras:   c2 = h2 + n2

Por el teorema de la altura, que acabamos de demostrar, se cumple:   h2 = mxn

Y sustituyendo la segunda expresión en la primera, se obtiene:

c2 = mxn + n2   ⇒   c2 = nx(m + n) = nxa   ⇒   c2 = nxa

Ambos resultados:

b2 = mxac2;     c2= nxa

Se conocen con el nombre de Teorema del cateto que se enuncia de la siguiente forma:

"El cuadrado de un cateto es igual al producto de la hipotenusa por la proyección del cateto sobre la hipotenusa"

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