En este tema vamos a estudiar los aspectos más básicos de los triángulos, que ya deberías conocer de cursos pasados, pero no estaría de más que los repases y hagas los ejercicios propuestos.

Se da por conocido los tipos de ángulos (agudos, obtusos y rectos) así como los criterios de igualdad de ángulos.

Definición de triángulo

TRIÁNGULO  es un polígono de tres LADOS, que viene determinado por tres puntos no colineales llamados VÉRTICES.

triángulo de vértices A,B,C

Los vértices se denotan por letras mayúsculas: A, B y C;

Los lados son los segmentos que unen dos vértices del triángulo y se denotan por la misma letra que el vértice opuesto, pero en minúscula. Es decir:

El lado 'a', es el segmento que une los vértices B y C.

El lado 'b', es el segmento que une los vértices A y C.

El lado 'c', es el segmento que une los vértices A y B.

Se llama ángulo de un triángulo, al ángulo que forman las rectas sobre las que se apoyan dos de sus lados incidentes en un vértice. El ángulo, se denota con la misma letra que el vértice correspondiente.

Ángulos de un triángulo

Propiedad 1:

Un triángulo tiene tres ángulos, cumpliéndose siempre que "la suma de los tres ángulos de un triángulo es 180 grados".

Propiedad 2: (Propiedad Triangular)

Las longitudes de los lados de un triángulo no pueden ser cualesquiera. Para que pueda construirse el triángulo, la longitud de cada lado tiene que ser menor que la suma de los otros dos lados o, lo que es lo mismo:  "cada lado debe ser mayor que la diferencia de los otros dos".

Ejercicio 1:

Di en cuáles de los siguientes casos, se podría construir un triángulo cuyos lados fueran los dados: (justifica tu respuesta)

  1. imagen fantasma"a"=5cmimagen fantasma"b"=5cmimagen fantasma"c"=5cm
  2. imagen fantasma"a"=3cmimagen fantasma"b"=6cmimagen fantasma"c"=4cm
  3. imagen fantasma"a"=1cmimagen fantasma"b"=1cmimagen fantasma"c"=5cm
  4. imagen fantasma"a"=9cmimagen fantasma"b"=8cmimagen fantasma"c"=2cm
  5. imagen fantasma"a"=3cmimagen fantasma"b"=4cmimagen fantasma"c"=5cm
  6. imagen fantasma"a"=2cmimagen fantasma"b"=9cmimagen fantasma"c"=8cm

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Clasificación de triángulos

La clasificación de triángulos se hace atendiendo a dos criterios:

  1. Atendiendo a sus lados:

triángulo escalenotriángulo isóscelestriángulo equilátero

  1. Atendiendo a sus ángulos:

triángulo rectánguloacutánguloobtusángulo

Además, si recordamos que la suma de los tres ángulos de un triángulo SIEMPRE suma 180º, se deduce lo siguiente:

  1. En un triángulo rectángulo, los otros dos ángulos (a parte del recto) tienen que ser agudos.
  2. En un triángulo obtusángulo, los otros dos ángulos (a parte del obtuso) tienen que ser agudos.

O dicho de otra forma:

Todo triángulo tiene que tener siempre DOS ángulos AGUDOS, pudiendo ser el tercero:

Propiedad 3:

"El triángulo equilátero, es también equiángulo" (los tres ángulos son iguales, y por tanto, de 60º cada uno)

"En el triángulo rectángulo, el lado opuesto al ángulo recto se llama hipotenusa y los otros dos, catetos".

"Un triángulo rectángulo isósceles tiene un ángulo recto y sus catetos iguales, luego los ángulos agudos también son iguales, e iguales a 45º"

Ejercicio 2:

  1. ¿Cuántos ángulos agudos, como máximo, puede tener un triángulo?
  2. ¿Cuántos ángulos obtusos, como máximo, puede tener un triángulo?
  3. ¿Cuántos ángulos agudos, como mínimo, puede tener un triángulo?
  4. ¿Cuánto suman los ángulos agudos de un triángulo rectángulo? (justifica tu respuesta)

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Criterios de Igualdad de triángulos

Dos triángulos son iguales cuando tienen sus tres lados de la misma longitud y sus tres ángulos iguales.

Para ver si dos triángulos son iguales basta con comprobar la igualdad de parte de sus elementos. Esos elementos vienen determinados por los criterios de igualdad de triángulos, que son las condiciones mínimas que se deben cumplir para que dos triángulos sean iguales.

CRITERIO 1:
"Dos triángulos son iguales si tienen iguales sus tres lados"
CRITERIO 2:
"Dos triángulos son iguales si tienen iguales dos lados y el ángulo que forman dichos lados"
CRITERIO 3:
"Dos triángulos son iguales si tienen iguales un lado y los dos ángulos contiguos a él".

Utilizando estos criterios, podemos demostrar la siguiente propiedad:

Propiedad 4:

"La recta que une los puntos medios de dos lados de un triángulo es paralela al tercer lado e igual a su mitad, y se llama paralela media correspondiente al tercer lado".

paralelas medias

Vamos a demostrar el resultado para una de las paralelas medias, por ejemplo, para la NM. Para ello, tendremos que justificar que la paralela al lado BC, que pasa por el punto medio del lado AB, corta al lado AC en su punto medio y además, es la mitad del lado BC. 

Sea N el punto medio del lado AB:

Trazamos la paralela al lado BC por N, y sea M el punto donde dicha paralela corta al lado AC. Por dicho punto, M, trazamos la paralela al lado AB, y llamamos P al punto donde dicha paralela corta al lado BC.

Con esta construcción, se han formado dos triángulos, a saber: ANM y MPC. Dichos triángulos son iguales, por el criterio 3 de igualdad de triángulos. Veámoslo:

Un lado igual:
AN = NB (por ser N el punto medio de AB) y NB = MP (por ser segmentos paralelos entre paralelas), luego: AN = MP
Los dos ángulos contiguos iguales:
Los ángulos contiguos al lado AN, pintados de verde y azul, son respectivamente iguales a los ángulos contiguos al lado MP, pues en ambos casos se trata de dos ángulos agudos de lados respectivamente paralelos.
Luego, los triángulos ANM y MPC  son iguales, y por lo tanto, tienen iguales sus tres lados. En particular:

Ejercicio 3:

Utilizando la igualdad de triángulos, demuestra:
  1. La diagonal de un paralelogramo, lo divide en dos triángulos iguales.
  2. Las diagonales de un paralelogramo se cortan en su punto medio.

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